6. Расстояние от центра окружности О до хорды CD равно 13 см. Угол COD равен 90°. Найдите длину хорды CD. a) 18 см; б) 13 см; в) 19,5 см; г) 26 см.

Задание 6. Хорда окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Расстояние от О до хорды CD равно 13 см.
• \( \angle COD = 90^\circ \).

Найти: длину хорды CD.

Решение:

1. Пусть OM — перпендикуляр из центра окружности к хорде CD. Тогда \( OM = 13 \) см.
2. По свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам. То есть \( CM = MD = \frac{1}{2} CD \).
3. Рассмотрим \( \triangle OMD \). Это прямоугольный треугольник, так как \( OM \perp CD \), значит \( \angle OMD = 90^\circ \).
4. \( \angle COD = 90^\circ \). Так как OM — высота, то \( \triangle OMD \) и \( \triangle OMC \) являются прямоугольными и равными (по катету и гипотенузе, если \( OM=MD \) - но это не так).
5. Угол COD — центральный, он равен 90°.
6. Рассмотрим \( \triangle OMC \) и \( \triangle OMD \). Они прямоугольные.
7. \( OD = OC \) (радиусы окружности).
8. \( OM = 13 \) см.
9. В \( \triangle OMD \), \( \angle MOD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \) (так как OM является биссектрисой \( \angle COD \) в равнобедренном \( \triangle COD \)).
10. В прямоугольном \( \triangle OMD \) (угол при M равен 90°):
    • \( OD \) — гипотенуза.
    • \( OM = 13 \) см.
    • \( \angle MOD = 45^\circ \).
    • \( \angle ODM = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
11. Значит, \( \triangle OMD \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, где \( OM = MD = 13 \) см.
12. Длина хорды \( CD = 2 \cdot MD = 2 \cdot 13 = 26 \) см.

Ответ: г) 26 см.