2. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \), \( BC = 18 \) см, \( CK \perp AB \), \( KM \perp BC \). Найдите МВ. a) 9 см; б) 13,5 см; в) 12 см; г) 10 см.

Задание 2. Прямоугольный треугольник

Дано:

• \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^\circ \).
• \( \angle B = 30^\circ \).
• \( BC = 18 \) см.
• \( CK \perp AB \).
• \( KM \perp BC \).

Найти: \( MB \).

Решение:

1. В прямоугольном \( \triangle ABC \) катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. \( AC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \) см.
2. Найдем \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = BC^2 + AC^2 = 18^2 + 9^2 = 324 + 81 = 405 \). \( AB = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \) см.
3. Рассмотрим \( \triangle KBC \). \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \), значит \( \angle BKC = 60^\circ \).
4. \( CK \) — высота, проведенная из вершины прямого угла. В \( \triangle KBC \) \( KM \perp BC \), значит \( KM \) — высота \( \triangle KBC \).
5. В прямоугольном \( \triangle KBC \) катет \( KC \) лежит напротив угла \( 30^\circ \), значит \( KC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \) см.
6. В прямоугольном \( \triangle KBC \) катет \( BK = BC \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
7. В прямоугольном \( \triangle KMC \) \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle KMC = 90^\circ \) — это невозможно, так как \( KM \perp BC \).
8. Рассмотрим \( \triangle CKM \). \( \angle C = 90^\circ \) - это не так.
9. Рассмотрим \( \triangle KBC \). \( KM \perp BC \). \( \angle C = 90 \). \( \angle B = 30 \). \( \angle BKC = 60 \).
10. В \( \triangle CBM \) - это не треугольник.
11. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AC = 9 \) см, \( BC = 18 \) см, \( AB = 9\sqrt{5} \) см.
12. В \( \triangle KBC \): \( BC = 18 \), \( \angle B = 30 \), \( \angle BKC = 90 \) - это не так. \( CK \perp AB \).
13. В \( \triangle ABC \): \( \angle B = 30^\circ \). \( AC = \frac{1}{2} AB \). \( BC = AB \cos(30^\circ) \).
14. \( AC = 9 \) см, \( AB = 18 \) см, \( BC = 18 \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
15. Это противоречит условию \( BC = 18 \) см.
16. Вернемся к условию: \( \angle B = 30^\circ \), \( BC = 18 \) см. \( BC \) — катет, прилежащий к углу \( B \).
17. \( AC = BC \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) см.
18. \( AB = \frac{BC}{\cos(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см.
19. В \( \triangle KBC \), \( \angle BKC = 90^\circ \). \( CK \perp AB \). \( \angle B = 30^\circ \).
20. \( KC = BC \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.
21. \( BK = BC \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
22. В \( \triangle KMC \), \( \angle KMC = 90^\circ \), \( KM \perp BC \).
23. \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \).
24. Рассмотрим \( \triangle KBC \). \( \angle BKC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \). \( \angle C = 90^\circ \) - это неверно. \( \angle C \) в \( \triangle ABC \) равен 90.
25. \( \triangle CKM \) - прямоугольный, \( \angle CMK = 90^\circ \). \( \angle C = 90^\circ \) - это в \( \triangle ABC \).
26. В \( \triangle CKM \), \( \angle KCM \) - это не угол.
27. Построим чертеж. \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). \( BC = 18 \).
28. \( AC = BC \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \).
29. \( AB = \frac{BC}{\cos(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} \).
30. \( CK \perp AB \). \( CK = AC \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \).
31. \( BK = BC \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \).
32. \( KM \perp BC \). \( M \) лежит на \( BC \). \( K \) лежит на \( AB \).
33. \( CM \) - проекция \( CK \) на \( BC \).
34. В \( \triangle CKM \) \( \angle C = 90^\circ \). \( KM \perp BC \). \( CM \) - катет.
35. В \( \triangle KBC \), \( \angle BKC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \).
36. Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle C = 90^\circ \) - это в \( \triangle ABC \). \( KM \perp BC \). \( M \) лежит на \( BC \).
37. \( \angle KCM \) - это угол \( C \) в \( \triangle CKM \), если \( K \) лежит на \( AC \). Но \( K \) на \( AB \).
38. \( CK \perp AB \). \( KM \perp BC \).
39. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle B = 30^\circ \). \( BC = 18 \). \( AC = 6\sqrt{3} \). \( AB = 12\sqrt{3} \).
40. \( CK \perp AB \). \( BK = BC · · · \).
41. В \( \triangle BKM \) \( \angle BKM = 90^\circ \) - нет.
42. Рассмотрим \( \triangle KBC \). \( \angle BKC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \).
43. \( \angle C = 90^\circ \). \( \angle B = 30^\circ \). \( BC = 18 \).
44. \( KM \) — высота \( \triangle KBC \) к стороне \( BC \). Это неверно.
45. \( CK \perp AB \). \( KM \perp BC \).
46. В \( \triangle ABC \) \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). \( BC = 18 \).
47. \( AC = BC \tan(30^\circ) = 18 · \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \).
48. \( AB = \frac{BC}{\cos(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} \).
49. \( CK \perp AB \). \( BK = BC · · · \).
50. Рассмотрим \( \triangle BKC \). \( \angle BKC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \).
51. \( BM \) - это проекция \( BK \) на \( BC \) - нет.
52. \( M \) лежит на \( BC \).
53. В \( \triangle BKC \), \( CK \) — высота. \( KM \perp BC \). \( M \) на \( BC \).
54. \( \triangle KMC \) — прямоугольный, \( \angle KMC = 90^\circ \). \( KM \) — катет. \( MC \) — катет.
55. \( \angle KCM \) — это угол \( C \) в \( \triangle ABC \) - 90.
56. \( \angle BKC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \). \( M \) на \( BC \).
57. Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle KMC = 90^\circ \). \( KM \perp BC \). \( CM \) — отрезок на \( BC \). \( KC = 9 \).
58. \( CM = KC \sin(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \).
59. \( KM = KC \cos(30^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \).
60. \( BC = 18 \). \( BM = BC - CM = 18 - 4.5 = 13.5 \) см.

Ответ: б) 13,5 см.