2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, BC = 18 см, СК ⊥ AB, KM ⊥ BC. Найдите MB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Найдем гипотенузу AB:

\[ \cos(B) = \frac{BC}{AB} \]\[ \cos(30^{\circ}) = \frac{18}{AB} \]\[ AB = \frac{18}{\cos(30^{\circ})} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ см} \]

В прямоугольном треугольнике BCK:

\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). KM ⊥ BC, значит, KM || AC.

Так как KM || AC, то \( \triangle BKM \sim \triangle BAC \) (по двум углам: \( \angle B \) общий, \( \angle BKM = \angle BAC = 60^{\circ} \) как соответственные).

Отношение подобия равно \( \frac{BK}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{KM}{AC} \).

Рассмотрим \( \triangle KBC \). \( CK \perp AB \).

В прямоугольном \( \triangle BСK \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). KM || BC. K — середина AB. CK — высота.

Найдем BK:

\[ \cos(B) = \frac{BK}{BC} \] - это ошибка, \( \angle C = 90^{\circ} \), значит \( BC \) — катет. \( AB \) — гипотенуза. \( BK \) — часть гипотенузы.

Правильно:

\[ \cos(B) = \frac{BC}{AB} \] — это для \( \angle C=90^{\circ} \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle C=90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( BC = 18 \).

\( \tan(B) = \frac{AC}{BC} \) → \( AC = BC \tan(B) = 18 \tan(30^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.

\( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{108 + 324} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \) см.

CK — высота. \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} 6\sqrt{3} · 18 = 54\sqrt{3} \).

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB · CK \) → \( CK = \frac{2 S_{ABC}}{AB} = \frac{2 · 54\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 9 \) см.

В \( \triangle BKC \), \( \angle K = 90^{\circ} \), \( BC = 18 \), \( CK = 9 \).

\( \cos(B) = \frac{BK}{BC} \) → \( BK = BC \cos(B) = 18 \cos(30^{\circ}) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.

KM ⊥ BC. \( KM \parallel AC \).

\( \triangle BKM \sim \triangle BAC \).

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{KM}{AC} \).

\( \frac{BK}{BC} = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \frac{BM}{BA} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( BM = BA \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 \) см. — это не верно, так как \( AB \) гипотенуза, \( BM \) часть гипотенузы.

Рассмотрим \( \triangle BKM \).

\( \angle B = 30^{\circ} \). \( KM \perp BC \) → \( \angle BMK = 90^{\circ} \).

\( \frac{BM}{BK} = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( BM = BK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{3}{2} = 13.5 \) см.

Ответ: 13,5 см.