2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, AC = 5 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найди длину гипотенузы АВ.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС, ∠C = 90°.
• AC = 5 см.
• Внешний угол при вершине В равен 150°.

Найти: AB (гипотенузу)

Решение:

1. Внешний угол при вершине В и внутренний угол ∠B смежные, поэтому их сумма равна 180°.
2. Найдем внутренний угол ∠B:

   \[ \angle B = 180° - 150° = 30° \]

3. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с известным углом ∠B = 30° и прилежащим катетом AC = 5 см.
4. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В данном случае, AC — катет, противолежащий углу B.
5. Запишем соотношение:

   \[ AC = \frac{1}{2} AB \]

6. Подставим известные значения и найдем AB:

   \[ 5 \text{ см} = \frac{1}{2} AB \]

   \[ AB = 5 \text{ см} \times 2 \]

   \[ AB = 10 \text{ см} \]

Ответ: 10 см