2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5√3 см. Найдите гипотенузу, если угол, противолежащий данному катету, равен 60°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Пусть \( a \) — данный катет, \( c \) — гипотенуза, а \( \alpha = 60^{\circ} \) — противолежащий угол.

Формула синуса: \( \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \).

Нам дан катет \( a = 5\sqrt{3} \text{ см} \) и угол \( \alpha = 60^{\circ} \). Значение \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{c} \]

Чтобы найти \( c \), решим уравнение:

\[ c \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} \]

\[ c \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \]

\[ c = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ см} \]

Ответ: 4. 10 см.