5. В окружности с центром в точке О проведена хорда GC, равная 24 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до хорды 5 см.

Решение:

Проведем радиусы \( OG \) и \( OC \) к концам хорды \( GC \). Также проведем отрезок \( OM \) от центра \( O \) к хорде \( GC \) так, чтобы \( OM \) был перпендикулярен \( GC \). Длина \( OM \) равна расстоянию от центра до хорды, то есть \( OM = 5 \text{ см} \).

Отрезок \( OM \) является высотой в равнобедренном треугольнике \( OGC \) (так как \( OG = OC = R \), радиус окружности) и делит хорду \( GC \) пополам. Следовательно, \( GM = MC = \frac{GC}{2} = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMG \) (или \( OMC \)). В этом треугольнике катеты равны \( OM = 5 \text{ см} \) и \( GM = 12 \text{ см} \), а гипотенуза — это радиус окружности \( OG = R \).

Применим теорему Пифагора:

\[ OM^2 + GM^2 = OG^2 \]

\[ 5^2 + 12^2 = R^2 \]

\[ 25 + 144 = R^2 \]

\[ 169 = R^2 \]

\[ R = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Ответ: 13 см.