2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На ней взята точка O. Докажите равенство треугольников ABO и CBO.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то \(AB=BC\).

1. BM — медиана, поэтому \(AM=MC\).
2. В треугольниках ABM и CBM: \(AB=BC\), \(AM=MC\), а \(BM\) — общая сторона. Следовательно, треугольники ABM и CBM равны по трём сторонам.
3. Отсюда \(\angle AMB=\angle BMC\). Эти углы смежные, поэтому каждый из них прямой: \(BM\perp AC\).
4. Точка O лежит на BM, значит \(AO\) и \(CO\) являются гипотенузами прямоугольных треугольников AOM и COM. В них \(AM=MC\), \(OM\) — общая сторона, поэтому \(AO=CO\).
5. В треугольниках ABO и CBO: \(AB=BC\), \(AO=CO\), \(BO\) — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: \(\triangle ABO=\triangle CBO\) по трём сторонам.