4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 3 см, угол C равен 15°. На катете AC отмечена точка D так, что угол CBD равен 15°. а) Найдите длину отрезка BD. б) Докажите, что BC < 12 см.

Дано: \(\angle A=90^\circ\), \(AB=3\) см, \(\angle C=15^\circ\), \(\angle CBD=15^\circ\).

Так как сумма углов треугольника ABC равна \(180^\circ\), то

\(\angle B=180^\circ-90^\circ-15^\circ=75^\circ\).

Поскольку D лежит на AC, луч BD делит угол B, поэтому

\(\angle ABD=75^\circ-15^\circ=60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ABD:

\(\cos 60^\circ=\dfrac{AB}{BD}\).

Следовательно,

\(BD=\dfrac{AB}{\cos60^\circ}=\dfrac{3}{1/2}=6\) см.

Теперь найдём BC. В треугольнике ABC:

\(\sin15^\circ=\dfrac{AB}{BC}\), поэтому

\(BC=\dfrac{3}{\sin15^\circ}=3(\sqrt6+\sqrt2)\) см.

Так как \(\sqrt6+\sqrt2<4\), то

\(BC=3(\sqrt6+\sqrt2)<3\cdot4=12\) см.

Ответ: а) \(BD=6\) см; б) \(BC=3(\sqrt6+\sqrt2)\) см, поэтому \(BC<12\) см.