2. В равнобедренном треугольнике ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD — медиана треугольника. Докажите, что △BKD = △BMD.

Решение:

Дано:

△ABC — равнобедренный (AC — основание).

K — середина AB.

M — середина BC.

BD — медиана △ABC.

Доказать: △BKD = △BMD.

Доказательство:

1. Рассмотрим △ABC. Так как △ABC — равнобедренный, то медиана BD, проведённая к основанию AC, является также высотой и биссектрисой. Это означает, что BD ⊥ AC и ∠ABD = ∠CBD.
2. Рассмотрим △BKD и △BMD.
3. BK = BM. Поскольку △ABC равнобедренный, то AB = BC. K — середина AB, M — середина BC. Следовательно, BK = AB/2 и BM = BC/2. Так как AB = BC, то BK = BM.
4. ∠ABD = ∠CBD. Это следует из того, что BD — биссектриса равнобедренного △ABC.
5. BD — общая сторона для △BKD и △BMD.
6. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
7. В △BKD и △BMD:
• BK = BM (по доказанному в п. 3)
• ∠ABD = ∠CBD (по доказанному в п. 4)
• BD = BD (общая сторона)
8. Следовательно, △BKD = △BMD по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: △BKD = △BMD по первому признаку равенства треугольников.