2. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, ∠D = 60°. Найдите длину большего основания, если меньшее основание равно 10 см.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны: ∠A = ∠D = 60°. Углы при боковой стороне CD смежные, поэтому ∠C = 120°.

Так как AC ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный при C. Его углы при A и D должны в сумме составлять 90°, однако по условию ∠D = 60°, значит ∠A = 30°. Следовательно, в этом треугольнике AD — гипотенуза, а CD — катет напротив угла 30°, поэтому \(CD=\frac{AD}{2}\).

Но равнобедренность трапеции требует равенства боковых сторон, а указанное условие вместе с параллельностью оснований не даёт противоречия: углы треугольника ACD действительно равны 30°, 60° и 90°. Обозначим проекцию каждой боковой стороны на большее основание через \(x\), высоту через \(h\). При угле 60° у основания \(x=h\cot 60°=h/\sqrt3\), а перпендикулярность AC и CD влечёт \(h^2=x(AD-x)\). Подстановка \(x=h/\sqrt3\) даёт \(AD=4x\), тогда как разность оснований равна \(2x\). Значит меньшее основание равно \(AD-2x=2x\), а большее — \(4x\).

При меньшем основании 10 см получаем \(2x=10\), то есть \(x=5\) см. Тогда большее основание \(4x=20\) см.

Ответ: 20 см.