4. В квадрате ABCD точка P — середина стороны AB, точка Q — середина стороны AD. Докажите, что прямые CP и DQ перпендикулярны.

Введём координаты: пусть квадрат имеет вершины \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(D(0,a)\), \(C(a,a)\), где \(a>0\).

Тогда середины сторон: \(P(a/2,0)\) и \(Q(0,a/2)\). Направляющие векторы прямых CP и DQ равны \(\overrightarrow{CP}=(-a/2,-a)\) и \(\overrightarrow{DQ}=(0,-a/2)\). Их скалярное произведение равно \(0\cdot(-a/2)+(-a)(-a/2)=a^2/2\), то есть этим вычислением перпендикулярность не подтверждается; более того, утверждение в условии неверно.

Например, при квадрате со стороной 2: \(C(2,2)\), \(P(1,0)\), \(D(0,2)\), \(Q(0,1)\). Угловые коэффициенты CP и DQ равны 2 и не определены соответственно: DQ — вертикальная прямая, а CP не горизонтальна, поэтому они не перпендикулярны? Перпендикулярность вертикальной прямой требует горизонтальности второй прямой, чего нет.

Ответ: доказать утверждение нельзя: при данных в условии прямые CP и DQ не обязаны быть перпендикулярны. Вероятно, в условии опечатка.