2. В ромбе EMKF провели высоту MS. Оказалось, что EK = SF. а) Найдите угол ромба. б) Найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 4.

Пусть сторона ромба равна a, а острый угол ромба равен \(\alpha\). Высота из вершины M опущена на сторону EF в точку S. При стандартном расположении вершин EMKF диагональ EK является меньшей диагональю.

а) Введём координаты: E=(0,0), F=(a,0), M=\(a\cos\alpha,a\sin\alpha\). Тогда SF=a-a\(\cos\)\(\alpha\), а диагональ EK=2a\(\sin\)\(\alpha/2\). Из равенства EK=SF следует:

\[2a\sin(\alpha/2)=a(1-\cos\alpha)=2a\sin^2(\alpha/2).\]

Так как угол ромба не равен нулю, делим на 2a\(\sin\)\(\alpha/2\) и получаем \(\sin(\alpha/2)=1\), то есть \(\alpha=180^\circ\). Это вырожденный случай, а не ромб. Следовательно, при обычном значении слова «ромб» условие несовместимо: невырожденного ромба с такой конфигурацией не существует.

б) Поэтому вычислить периметр по данным условия невозможно: заданная конфигурация не существует. Если в записи задачи есть опечатка (например, равенство должно относиться к другой диагонали или к другому отрезку), пришлите уточнённое условие.

Ответ: условие пункта а) несовместимо с существованием невырожденного ромба; пункт б) при этих данных не имеет решения.