2. В случайном опыте S всего 12 равновозможных элементарных событий. На диаграмме Эйлера показан опыт S и события А и В в этом опыте. Найдите: a) P(A); б) P(B); в) P(A ∩ B); г) P(A ∪ B).

Решение:

Всего элементарных событий в опыте S = 12.

По диаграмме Эйлера определим количество элементов в каждом событии:

• Событие A: 8 элементов (закрашенная область внутри круга A).
• Событие B: 5 элементов (закрашенная область внутри прямоугольника B).
• Пересечение A и B ($$A \cap B$$): 4 элемента (область, где круги A и B перекрываются).
• Объединение A и B ($$A \cup B$$): 8 (элементы только в A) + 1 (элемент только в B) + 4 (элементы в пересечении) = 13.
• Однако, общее число событий = 12. В диаграмме Эйлера есть области, которые не входят ни в A, ни в B. Судя по расположению точек:
  • Только в A: 4 элемента.
  • Только в B: 1 элемент.
  • В пересечении A и B: 4 элемента.
  • Вне A и B: 3 элемента.
  • Всего: 4 + 1 + 4 + 3 = 12.
  • Следовательно, количество элементов в A = 4 (только A) + 4 (A ∩ B) = 8.
  • Количество элементов в B = 1 (только B) + 4 (A ∩ B) = 5.
  • Количество элементов в A ∪ B = 4 (только A) + 1 (только B) + 4 (A ∩ B) = 9.

Рассчитаем вероятности:

1. P(A): Вероятность события A.
   • Число элементов в A = 8.
   • Общее число элементарных событий = 12.
   • $$P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$.
2. P(B): Вероятность события B.
   • Число элементов в B = 5.
   • Общее число элементарных событий = 12.
   • $$P(B) = \frac{5}{12}$$.
3. P(A ∩ B): Вероятность пересечения событий A и B.
   • Число элементов в $$A \cap B$$ = 4.
   • Общее число элементарных событий = 12.
   • $$P(A \cap B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.
4. P(A ∪ B): Вероятность объединения событий A и B.
   • Число элементов в $$A \cup B$$ = 9.
   • Общее число элементарных событий = 12.
   • $$P(A \cup B) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$.

Ответ:
а) $$P(A) = \frac{2}{3}$$
б) $$P(B) = \frac{5}{12}$$
в) $$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$$
г) $$P(A \cup B) = \frac{3}{4}$$