4. В торговом центре два автомата продают кофе. К концу рабочего дня в каждом отдельном автомате кофе может закончиться с вероятностью 0,2, а в обоих автоматах кофе заканчивается с вероятностью 0,08. Какова вероятность того, что к концу дня: а) кофе закончится ровно в одном из автоматов; б) кофе не закончится ни в одном из автоматов?

Решение:

Пусть событие A — кофе закончится в первом автомате, событие B — кофе закончится во втором автомате.

• Дано:
• $$P(A) = 0.2$$
• $$P(B) = 0.2$$
• $$P(A \cap B) = 0.08$$ (вероятность, что кофе закончится в обоих автоматах)

а) Кофе закончится ровно в одном из автоматов:

Это означает, что кофе закончится либо только в первом автомате, либо только во втором.

• Вероятность, что кофе закончится только в первом автомате: $$P(A \text{ и не } B) = P(A) - P(A \cap B) = 0.2 - 0.08 = 0.12$$.
• Вероятность, что кофе закончится только во втором автомате: $$P(B \text{ и не } A) = P(B) - P(A \cap B) = 0.2 - 0.08 = 0.12$$.
• Вероятность, что кофе закончится ровно в одном автомате, равна сумме этих двух вероятностей (так как эти события несовместны):
  $$P(\text{ровно в одном}) = P(A \text{ и не } B) + P(B \text{ и не } A) = 0.12 + 0.12 = 0.24$$.

б) Кофе не закончится ни в одном из автоматов:

Это событие является противоположным к событию «хотя бы в одном автомате закончится кофе» ($$A \cup B$$).

• Сначала найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате ($$P(A \cup B)$$):
  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.2 + 0.2 - 0.08 = 0.4 - 0.08 = 0.32$$.
• Вероятность того, что кофе не закончится ни в одном из автоматов, равна $$1 - P(A \cup B)$$:
• $$P(\text{не закончится нигде}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.32 = 0.68$$.

Ответ:
а) 0.24
б) 0.68