2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Считаем, что основания трапеции — AD и BC, поэтому \(AD\parallel BC\).

В прямоугольном треугольнике ABD углы равны 30°, 60° и 90°. Пусть \(AB=x\). По свойству треугольника с углами 30° и 60°: \(BD=x\sqrt3\), \(AD=2x\).

Из параллельности оснований \(\angle DBC=\angle ADB=30°\). Так как \(\angle BDC=30°\), то \(BC=CD\). В треугольнике BCD сторона BD, лежащая напротив угла 120°, в \(\sqrt3\) раза больше CD. Значит, \(CD=x\), а \(BC=x\).

Периметр: \(AD+AB+BC+CD=2x+x+x+x=5x=60\), откуда \(x=12\). Тогда \(AD=2x=24\) см.

Ответ: 24 см.