Высота CK, проведённая из вершины C ромба ABCD, падает на сторону AD в точку K. Угол между высотой CK и стороной CD равен 30°, а отрезок KD = 6 см. Найдите длину диагонали AC, если точка K лежит на стороне AD.

Треугольник CKD прямоугольный, так как \(CK\perp AD\), а \(K\) лежит на \(AD\). Угол KCD равен 30°, а KD = 6 см — сторона напротив этого угла. В прямоугольном треугольнике напротив угла 30° лежит половина гипотенузы, поэтому \(CD=12\) см. Все стороны ромба равны, значит, \(AD=12\) см.

Тогда \(AK=AD-KD=12-6=6\) см. В прямоугольном треугольнике ACK по теореме Пифагора:

\(AC^2=AK^2+CK^2\). Из соотношений треугольника CKD с углом 30° получаем \(CK=6\sqrt3\) см. Поэтому \(AC^2=6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144\), откуда \(AC=12\) см.

Ответ: 12 см.