2. В треугольнике ABC: K — середина медианы AM, точка D — точка пересечения прямой BK и стороны AC. Докажите, что AD составляет треть стороны AC.

Обозначим через M середину BC, поскольку AM — медиана. Тогда BM = MC. Также AK = KM, так как K — середина AM.

Рассмотрим треугольник AMC. Прямая B–K–D пересекает AM в K, AC в D и продолжение MC за точку M в B. По теореме Менелая:

\(\frac{AK}{KM}\cdot\frac{MB}{BC}\cdot\frac{CD}{DA}=1\).

Подставим известные отношения: \(\frac{AK}{KM}=1\), а \(BC=BM+MC=2MC\) и \(BM=MC\), поэтому \(\frac{MB}{BC}=\frac{1}{2}\). Следовательно, \(\frac{CD}{DA}=2\).

Значит, \(AC=AD+CD=3AD\), откуда \(AD=\frac{1}{3}AC\).

Ответ: \(AD=\frac{1}{3}AC\).