3. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей.

Пусть в трапеции ABCD основания AB и CD параллельны, а E и F — середины боковых сторон AD и BC. Тогда EF — средняя линия трапеции, поэтому EF параллельна обоим основаниям.

Пусть P — середина диагонали AC, а Q — середина диагонали BD. В треугольнике ADC отрезок EP соединяет середины AD и AC, значит, по теореме о средней линии треугольника EP параллелен CD. Поскольку EF также проходит через E и параллелен CD, прямые EP и EF совпадают. Следовательно, P лежит на EF.

В треугольнике ADB отрезок EQ соединяет середины AD и DB, значит, EQ параллелен AB. Прямые EQ и EF проходят через E и параллельны AB, поэтому совпадают. Следовательно, Q лежит на EF.

Итак, средняя линия EF проходит через середины обеих диагоналей.