2. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D так, что BD : BA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. а) Докажите подобие треугольников DBD₁ и ABC. б) Найдите AC, если DD₁ = 4 см.

а) Так как D лежит на AB, а D₁ — на BC, то ∠DBD₁ = ∠ABC. Кроме того, DD₁ ∥ AC, поэтому ∠BDD₁ = ∠BAC. Следовательно, △DBD₁ ∼ △ABC по двум углам.

Соответствующие стороны пропорциональны: DD₁ / AC = BD / BA = 1 / 3.

б) AC = 3 · DD₁ = 3 · 4 = 12 см.

Ответ: 12 см.