2. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 25 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM=MC=\frac{AC}{2}=12.5\).

Обозначим \(AH=x\), а высоту \(BH=h\). Тогда из прямоугольных треугольников:

\(BM^2=(x-12.5)^2+h^2\),

\(BC^2=(x-25)^2+h^2\).

По условию \(BM=BC\), поэтому:

\((x-12.5)^2=(x-25)^2\).

Раскрываем скобки:

\(x^2-25x+156.25=x^2-50x+625\),

\(25x=468.75\),

\(x=18.75\).

Ответ: \(AH=18.75\).