2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB - 36, sin ∠A = 5/6. Найдите длину отрезка AH.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ CH \] - высота
• \[ AB = 36 \]
• \[ \sin A = \frac{5}{6} \]

Найти: AH

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
2. Подставим известные значения: \[ \frac{5}{6} = \frac{BC}{36} \]
3. Найдем длину катета BC: \[ BC = \frac{5}{6} \times 36 = 5 \times 6 = 30 \]
4. Теперь найдем длину катета AC, используя теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
5. \[ AC^2 + 30^2 = 36^2 \]
6. \[ AC^2 + 900 = 1296 \]
7. \[ AC^2 = 1296 - 900 = 396 \]
8. \[ AC = \sqrt{396} = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11} \]
9. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведенная к гипотенузе, обладает свойством: \[ AC^2 = AH \times AB \]
10. Подставим известные значения: \[ (6\sqrt{11})^2 = AH \times 36 \]
11. \[ 396 = AH \times 36 \]
12. Найдем длину отрезка AH: \[ AH = \frac{396}{36} = 11 \]

Ответ: 11