5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA = √5/5, BC = 5. Найдите АС.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \cos A = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
• \[ BC = 5 \]

Найти: AC

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]
2. Мы знаем значение cos A, но нам неизвестны AC и AB. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]
3. Найдем sin A: \[ \sin^2 A + (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 \]
4. \[ \sin^2 A + \frac{5}{25} = 1 \]
5. \[ \sin^2 A + \frac{1}{5} = 1 \]
6. \[ \sin^2 A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]
7. \[ \sin A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
8. Теперь, зная sin A, найдем гипотенузу AB. Синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
9. \[ \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{AB} \]
10. \[ AB = \frac{5 \times 5}{2\sqrt{5}} = \frac{25}{2\sqrt{5}} = \frac{25\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{25\sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \]
11. Теперь, когда мы знаем гипотенузу AB и катет BC, мы можем найти катет AC, используя теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
12. \[ AC^2 + 5^2 = (\frac{5\sqrt{5}}{2})^2 \]
13. \[ AC^2 + 25 = \frac{25 \times 5}{4} = \frac{125}{4} \]
14. \[ AC^2 = \frac{125}{4} - 25 = \frac{125 - 100}{4} = \frac{25}{4} \]
15. \[ AC = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \]

Ответ: 5/2