2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 18°. Найдите градусную меру угла APC.

Решение:

1. Так как \( \angle C = 90° \) и \( AC = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.
2. Углы при основании AB равны: \( \angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - 90°}{2} = 45° \).
3. \( \angle ACB = 90° \). \( \angle ACP = 18° \).
4. \( \angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90° - 18° = 72° \).
5. Рассмотрим \( \triangle APC \). \( \angle PAC = \angle CAB = 45° \). \( \angle ACP = 18° \).
6. Сумма углов в \( \triangle APC \) равна 180°: \( \angle APC + \angle PAC + \angle ACP = 180° \).
7. \( \angle APC + 45° + 18° = 180° \).
8. \( \angle APC + 63° = 180° \).
9. \( \angle APC = 180° - 63° = 117° \).

Ответ: 117°.