2. В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM — медиана, угол BDC равен 38°. Найдите углы BMD и BDM.

Решение:

Так как в треугольнике BCD стороны BD и CD равны, то треугольник BCD — равнобедренный. Следовательно, углы при основании BD и CD равны:

\( \angle CBD = \angle BCD = \frac{180^\circ - \angle BDC}{2} = \frac{180^\circ - 38^\circ}{2} = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ \)

DM — медиана, значит, она делит сторону BC пополам.

Рассмотрим треугольник BDM. Угол BDM является частью угла BDC. Поскольку DM — медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, она также является и высотой, и биссектрисой. Поэтому DM перпендикулярна BC.

\( \angle BDM = \frac{1}{2} \angle BDC = \frac{1}{2} \cdot 38^\circ = 19^\circ \)

В треугольнике BDM:

\( \angle BMD = 180^\circ - \angle MBD - \angle BDM \)

\( \angle MBD = \angle CBD = 71^\circ \)

\( \angle BMD = 180^\circ - 71^\circ - 19^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Ответ: \( \angle BMD = 90^\circ \), \( \angle BDM = 19^\circ \).