4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем \( \angle DOE = \angle POK \). Докажите, что эти хорды равны.

Решение:

Дано:

Хорды DE и PK в окружности с центром O.

\( \angle DOE = \angle POK \)

Доказать: \( DE = PK \)

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle DOE \) и \( \triangle POK \).

У нас есть:

1. \( OD = OE = OP = OK \) — как радиусы одной окружности.
2. \( \angle DOE = \angle POK \) — по условию.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle DOE = \triangle POK \).

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны:

\( DE = PK \)

Что и требовалось доказать.