2. В треугольнике KLM известно, что сторона KL = 6 см, сторона KM = 9 см, а угол LKM = 60°. а) Найдите длину стороны LM. б) Найдите синус угла KLM.

а) По теореме косинусов:

\(LM^2=KL^2+KM^2-2\cdot KL\cdot KM\cdot\cos\angle LKM\).

\(LM^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cdot\cos60^\circ=36+81-54=63\).

Следовательно, \(LM=\sqrt{63}=3\sqrt7\) см.

б) Сначала найдём косинус угла KLM по теореме косинусов:

\(\cos\angle KLM=\dfrac{KL^2+LM^2-KM^2}{2\cdot KL\cdot LM}=\dfrac{36+63-81}{2\cdot6\cdot3\sqrt7}=\dfrac{1}{2\sqrt7}\).

Используем тождество \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\). Угол треугольника острый, поэтому его синус положителен:

\(\sin\angle KLM=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2\sqrt7}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{28}}=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).

Ответ: а) \(3\sqrt7\) см; б) \(\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\).