2. В треугольнике MNP известно, что ∠M = 40°, ∠N = 70°. Биссектриса угла М пересекает сторону NP в точке К. Найдите угол МКР.

Решение:

В треугольнике MNP: \( \angle M = 40^{\circ} \), \( \angle N = 70^{\circ} \).

Найдём третий угол: \( \angle P = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Так как \( \angle N = \angle P = 70^{\circ} \), треугольник MNP — равнобедренный с основанием NP, боковыми сторонами MN и MP.

МК — биссектриса угла М. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также и медианой, и высотой.

Угол М разделён биссектрисой на два равных угла:

\( \angle KMP = \angle KMN = \frac{\angle M}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник KMP. В нём:

\( \angle P = 70^{\circ} \) (из условия).

\( \angle KMP = 20^{\circ} \) (из условия, что MK — биссектриса).

Найдём \( \angle MKP \) в треугольнике KMP:

\( \angle MKP = 180^{\circ} - (\angle P + \angle KMP) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Угол MKP и угол MKP — смежные, их сумма равна 180°. Нас просят найти угол MKP, но в условии задачи указано найти угол МКР. Скорее всего, это опечатка, и имелось в виду найти угол MKP. Если же нужно найти угол MKP, то он является развёрнутым углом, что маловероятно.

Если же имелся в виду угол MKP, то: \( \angle MKP = 180^{\circ} - \angle MKP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: 90°.