6. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник СКЕ, \( \angle C = 90^{\circ} \).

Пусть гипотенуза — CE, катеты — СК и KE.

По условию:

1. Сумма гипотенузы CE и катета СК равна 31 см: \( CE + CK = 31 \).
2. Разность гипотенузы CE и катета СК равна 3 см: \( CE - CK = 3 \).

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} CE + CK = 31 \ CE - CK = 3
\end{cases} \)

Сложим оба уравнения:

\( (CE + CK) + (CE - CK) = 31 + 3 \)

\( 2CE = 34 \)

\( CE = \frac{34}{2} = 17 \) см.

Подставим значение CE в первое уравнение:

\( 17 + CK = 31 \)

\( CK = 31 - 17 \)

\( CK = 14 \) см.

Теперь найдём второй катет KE, используя теорему Пифагора \( CE^2 = CK^2 + KE^2 \):

\( 17^2 = 14^2 + KE^2 \)

\( 289 = 196 + KE^2 \)

\( KE^2 = 289 - 196 \)

\( KE^2 = 93 \)

\( KE = \sqrt{93} \) см.

Теперь найдём расстояние от вершины С до прямой КЕ. Это будет высота, опущенная из вершины прямого угла С на гипотенузу КЕ.

Площадь прямоугольного треугольника СКЕ можно вычислить двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} × CK × KE \)

2. \( S = \frac{1}{2} × KE × h \), где \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе КЕ.

Приравниваем площади:

\( \frac{1}{2} × CK × KE = \frac{1}{2} × KE × h \)

\( CK × KE = KE × h \)

\( h = CK \)

Подождите, это ошибка. Расстояние от вершины С до прямой КЕ — это высота, опущенная из вершины С на гипотенузу КЕ. Обозначим эту высоту как \( h \).

Площадь треугольника СКЕ равна \( S = \frac{1}{2} × CK × KE \).

Также площадь треугольника СКЕ равна \( S = \frac{1}{2} × KE × h \). Это неправильно. Площадь равна \( S = \frac{1}{2} × гипотенуза × высота, проведённая к гипотенузе \).

\( S = \frac{1}{2} × CE × h \), где \( h \) — расстояние от С до КЕ.

Приравниваем формулы для площади:

\( \frac{1}{2} × CK × KE = \frac{1}{2} × CE × h \)

\( CK × KE = CE × h \)

\( h = \frac{CK × KE}{CE} \)

Подставляем найденные значения:

\( h = \frac{14 × \sqrt{93}}{17} \) см.

Ответ: \( \frac{14×√93}{17} \) см.