3. В прямоугольном треугольнике один из углов — 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите меньший катет и гипотенузу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \).

Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, меньший катет — это катет, противолежащий углу 30°, то есть BC.

Обозначим:

• Гипотенузу AB как \( c \).
• Меньший катет BC как \( a \).

Из свойства прямоугольного треугольника следует, что \( a = \frac{1}{2}c \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см:

\( c + a = 36 \).

Подставим \( a = \frac{1}{2}c \) в уравнение:

\( c + \frac{1}{2}c = 36 \)

\( \frac{3}{2}c = 36 \)

\( c = 36 \cdot \frac{2}{3} \)

\( c = 12 \cdot 2 \)

\( c = 24 \) см.

Теперь найдём меньший катет \( a \):

\( a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} × 24 = 12 \) см.

Ответ: меньший катет — 12 см, гипотенуза — 24 см.