2. В выпуклом п-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов? A) 1000° Б) 800° B) 900° Г) 720°

Задание 2

Для решения этой задачи нам понадобятся две формулы:

1. Формула количества диагоналей \( D \) выпуклого n-угольника: \[ D = \frac{n(n-3)}{2} \]
2. Формула суммы углов \( S \) выпуклого n-угольника: \[ S = (n-2) \cdot 180^\circ \]

Сначала найдем количество сторон \( n \), используя формулу количества диагоналей. Нам известно, что \( D = 14 \):

\[ 14 = \frac{n(n-3)}{2} \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ 28 = n(n-3) \]

\[ 28 = n^2 - 3n \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ n^2 - 3n - 28 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-28) = 9 + 112 = 121 \]

Найдем корни уравнения:

\[ n_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ n_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Так как количество сторон не может быть отрицательным, \( n = 7 \).

Теперь, когда мы знаем, что у n-угольника 7 сторон, найдем сумму его углов, используя вторую формулу:

\[ S = (n-2) \cdot 180^\circ = (7-2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ \]

Итак, сумма углов этого n-угольника равна 900°.

Ответ: B) 900°