2. Вычислить предел функции:

Решение:

Подставим \( x = 2 \) в выражение:

Числитель: \( 3(2)^2 - 8(2) + 4 = 3 \cdot 4 - 16 + 4 = 12 - 16 + 4 = 0 \)

Знаменатель: \( 5(2)^2 - 14(2) + 8 = 5 \cdot 4 - 28 + 8 = 20 - 28 + 8 = 0 \)

Так как получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( 3x^2 - 8x + 4 \). Корни уравнения \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \) находим по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \). Корни: \( x_1 = \frac{12}{6} = 2 \), \( x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). Значит, \( 3x^2 - 8x + 4 = 3(x - 2)(x - \frac{2}{3}) = (x - 2)(3x - 2) \).

Знаменатель: \( 5x^2 - 14x + 8 \). Корни уравнения \( 5x^2 - 14x + 8 = 0 \): \( x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{10} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{10} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{14 \pm 6}{10} \). Корни: \( x_1 = \frac{20}{10} = 2 \), \( x_2 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \). Значит, \( 5x^2 - 14x + 8 = 5(x - 2)(x - \frac{4}{5}) = (x - 2)(5x - 4) \).

Теперь вычислим предел:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{5x^2 - 14x + 8} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(3x - 2)}{(x - 2)(5x - 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{5x - 4} \]

Подставим \( x = 2 \):

\[ \frac{3(2) - 2}{5(2) - 4} = \frac{6 - 2}{10 - 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Ответ: \( \frac{2}{3} \)