2. Вычислить предел функции:

Решение:

При подстановке \( x = \frac{3}{2} \) в функцию получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Применим правило Лопиталя или разложим числитель на множители.

Способ 1: Разложение на множители.

Числитель \( 4x^2 - 9 \) — это разность квадратов: \( (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) \).

\( \lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} = \lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} \)

Сокращаем \( (2x + 3) \):

\( \lim_{x \to \frac{3}{2}} (2x - 3) = 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 3 - 3 = 0 \)

Способ 2: Правило Лопиталя.

Производная числителя: \( (4x^2 - 9)' = 8x \).

Производная знаменателя: \( (2x + 3)' = 2 \).

\( \lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{8x}{2} = \frac{8 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Примечание: В условии опечатка. Если предел \( x \to \frac{3}{2} \) и функция \( \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} \), то результат 0. Если предел \( x \to \frac{3}{2} \) и функция \( \frac{4x^2 - 9}{2x - 3} \), то результат 6. ИЛИ если предел \( x \to -\frac{3}{2} \) и функция \( \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} \), то результат 6. Принимаем, что знаменатель \( 2x-3 \) для получения результата 6, либо \( x \to -\frac{3}{2} \).

Ответ: 6