5. Найти производную сложной степенной функции

Решение:

Дана функция \( y = \sqrt[7]{(3x-2)^5} \). Перепишем её в виде \( y = (3x-2)^{\frac{5}{7}} \).

Используем правило дифференцирования степенной функции \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \), где \( u = 3x-2 \) и \( n = \frac{5}{7} \).

Сначала найдём производную \( u' \):

\[ u' = (3x-2)' = 3 \]\[ y' = \frac{5}{7} (3x-2)^{\frac{5}{7}-1} \cdot 3 \]\[ y' = \frac{15}{7} (3x-2)^{\frac{5}{7}-\frac{7}{7}} \]\[ y' = \frac{15}{7} (3x-2)^{-\frac{2}{7}} \]\[ y' = \frac{15}{7 \sqrt[7]{(3x-2)^2}} \]

Ответ: \( y' = \frac{15}{7 \sqrt[7]{(3x-2)^2}} \)