5. Найти производную сложной степенной функции

Решение:

Функция: \( f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x - 9x^3}} \).

Представим функцию в виде степени:

\( f(x) = (x - 9x^3)^{-\frac{1}{4}} \)

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \), где \( u = x - 9x^3 \) и \( n = -\frac{1}{4} \).

Найдем производную \( u' \):

\( u' = (x - 9x^3)' = 1 - 27x^2 \).

Теперь найдем \( f'(x) \):

\( f'(x) = -\frac{1}{4} (x - 9x^3)^{-\frac{1}{4} - 1} \cdot (1 - 27x^2) \)

\( f'(x) = -\frac{1}{4} (x - 9x^3)^{-\frac{5}{4}} (1 - 27x^2) \)

\( f'(x) = -\frac{1 - 27x^2}{4 (x - 9x^3)^{\frac{5}{4}}} \)

\( f'(x) = -\frac{1 - 27x^2}{4 \sqrt[4]{(x - 9x^3)^5}} \)

Ответ: \( f'(x) = -\frac{1 - 27x^2}{4 \sqrt[4]{(x - 9x^3)^5}} \)