7. Найти точки экстремума функции:

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) нужно найти первую производную и приравнять её к нулю.

\[ y' = (x^3 - 6x^2 + 9x)' \]\[ y' = 3x^2 - 12x + 9 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \), \( x_1 x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

Теперь найдём вторую производную, чтобы определить тип экстремума:

\[ y'' = (3x^2 - 12x + 9)' \]\[ y'' = 6x - 12 \]

Проверим знаки второй производной в найденных точках:

• При \( x = 1 \): \( y''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \). Так как \( y''(1) < 0 \), в точке \( x = 1 \) — максимум.
• При \( x = 3 \): \( y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \). Так как \( y''(3) > 0 \), в точке \( x = 3 \) — минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

• При \( x = 1 \): \( y(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \). Точка максимума: (1, 4).
• При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 6(9) + 27 = 27 - 54 + 27 = 0 \). Точка минимума: (3, 0).

Ответ: Точка максимума (1, 4), точка минимума (3, 0).