7. Найти точки экстремума функции:

Решение:

Найдем точки экстремума для функции \( y = x^3 - 48x \).

Сначала найдем производную функции:

\( y' = (x^3)' - (48x)' \)

\( y' = 3x^2 - 48 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 48 = 0 \)

\( 3x^2 = 48 \)

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

Теперь определим характер экстремума. Исследуем знак производной на интервалах \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 4) \) и \( (4, \infty) \).

При \( x < -4 \), например \( x = -5 \): \( y' = 3(-5)^2 - 48 = 3(25) - 48 = 75 - 48 = 27 > 0 \) (функция возрастает).

При \( -4 < x < 4 \), например \( x = 0 \): \( y' = 3(0)^2 - 48 = -48 < 0 \) (функция убывает).

При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( y' = 3(5)^2 - 48 = 3(25) - 48 = 75 - 48 = 27 > 0 \) (функция возрастает).

Следовательно, в точке \( x = -4 \) — максимум, а в точке \( x = 4 \) — минимум.

Ответ: \( x = -4 \) (максимум), \( x = 4 \) (минимум)