2. Вычислить с помощью формулы перехода к новому основанию: А) $\log_3 100\cdot\lg 3$; Б) $\log_9 17\cdot\log_{17}7\cdot\log_7 3$; В) $\dfrac{4}{\log_2 100}+\log_{\sqrt{10}}5$; Г) $2^{\log_{\sqrt{2}}\sqrt{3}+\log_4 9}$; Д) $\dfrac{\log_2\sqrt{2}}{\log_{32}\sqrt{2}}$; Е) $\log_4\log_9 81$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Вычислить с помощью формулы перехода к новому основанию: А) $\log_3 100\cdot\lg 3$; Б) \(\log_9…$ Фото задания

Accepted Answer

А) По формуле перехода: $\log_3 100\cdot\lg 3=\dfrac{\lg 100}{\lg 3}\cdot\lg 3=2$.
Б) Используем $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$: $\log_9 17\cdot\log_{17}7\cdot\log_7 3=\log_9 3=\dfrac12$.
В) $\dfrac{4}{\log_2 100}=4\log_{100}2=\log_{100}16=\log_{10}4$. Кроме того, $\log_{\sqrt{10}}5=\dfrac{\lg 5}{\lg\sqrt{10}}=2\lg 5=\lg 25$. Поэтому сумма равна $\lg 4+\lg 25=\lg 100=2$.
Г) $\log_{\sqrt2}\sqrt3=\log_{2^{1/2}}3^{1/2}=\log_2 3$, а $\log_4 9=\log_{2^2}3^2=\log_2 3$. Тогда $2^{\log_2 3+\log_2 3}=2^{\log_2 9}=9$.
Д) $\log_2\sqrt2=\dfrac12$, $\log_{32}\sqrt2=\log_{2^5}2^{1/2}=\dfrac1{10}$. Следовательно, отношение равно $\dfrac{1/2}{1/10}=5$.
Е) $\log_9 81=2$, значит $\log_4\log_9 81=\log_4 2=\dfrac12$.

Ответ: А) 2; Б) $\dfrac12$; В) 2; Г) 9; Д) 5; Е) $\dfrac12$.