2. Вычислите интегралы: a) ∫₀²/ (3sin x + 2cos x) dx

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3\sin x + 2\cos x) dx \).

1. Найдём первообразную для функции \( 3\sin x + 2\cos x \):
   Первообразная для \( \sin x \) — это \( -\cos x \).
   Первообразная для \( \cos x \) — это \( \sin x \).
   Следовательно, первообразная для \( 3\sin x + 2\cos x \) равна \( -3\cos x + 2\sin x \).
2. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
   В верхнем пределе \( x = \frac{\pi}{2} \):
   \( -3\cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \).
   В нижнем пределе \( x = 0 \):
   \( -3\cos(0) + 2\sin(0) = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -3 \).
3. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
   \( 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \).

Ответ: 5.