2. Вычислите интегралы: б) ∫₋₃⁻² dx/x³

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x^3} dx \).

1. Перепишем подынтегральную функцию как \( x^{-3} \).
2. Найдём первообразную для \( x^{-3} \). По формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n \neq -1 \), получаем:
   \( \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} \).
3. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
   В верхнем пределе \( x = -2 \):
   \( -\frac{1}{2(-2)^2} = -\frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{8} \).
   В нижнем пределе \( x = -3 \):
   \( -\frac{1}{2(-3)^2} = -\frac{1}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{18} \).
4. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:
   \( -\frac{1}{8} - (-\frac{1}{18}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{18} \).
5. Приведём дроби к общему знаменателю (72):
   \( -\frac{9}{72} + \frac{4}{72} = \frac{-9+4}{72} = -\frac{5}{72} \).

Ответ: -5/72.