2. Вычислите: \(\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{\frac{17}{27}}\)

Решение:

1. Приведём смешанную дробь в неправильную: \(2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}\).
2. Вычислим \(\sqrt[3]{\frac{64}{27}}\). Так как \(\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}\), то \(\sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}\).
3. Вычислим \(\sqrt[4]{\frac{17}{27}}\). Данное выражение не упрощается до рационального числа, и, вероятно, в условии задачи была опечатка. Если предположить, что под корнем должно быть \(\frac{16}{27}\) или \(\frac{81}{27}\) (что равно 3), или \(\frac{17}{81}\) (тоже не упрощается), или \(\frac{81}{16}\), задача не имеет простого решения.
4. Если предположить, что второе слагаемое \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}\), то \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}\).
5. В таком случае, \(\frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{8+9}{6} = \frac{17}{6}\).

Примечание: В условии задачи, вероятно, опечатка во втором слагаемом. Если считать, что \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}\), то ответ \(\frac{17}{6}\). Если условие верное, то задача не решается в рациональных числах.

Ответ: \(\frac{17}{6}\) (при условии исправления второго слагаемого на \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}\).