2. Выполните действия: a) \(\frac{4x}{x-3} - \frac{x+9}{x-3}\) b) \(\frac{5}{3x} + \frac{7}{2x}\) c) \(\frac{ab^{2}}{3x+3y} \cdot \frac{7x+7y}{a^{3}b}\) d) \(\left(\frac{3x^{2}}{2y^{3}}\right)^{3}\)

Пошаговое решение:

1. a) \(\frac{4x}{x-3} - \frac{x+9}{x-3}\)
   Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем числители: \(\frac{4x - (x+9)}{x-3} = \frac{4x - x - 9}{x-3} = \frac{3x-9}{x-3}\)
   Выносим общий множитель в числителе: \(\frac{3(x-3)}{x-3}\)
   Сокращаем \((x-3)\): \(3\).
2. b) \(\frac{5}{3x} + \frac{7}{2x}\)
   Находим общий знаменатель для \(3x\) и \(2x\), который равен \(6x\).
   Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{5 \cdot 2}{3x \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{2x \cdot 3} = \frac{10}{6x} + \frac{21}{6x}\)
   Складываем числители: \(\frac{10+21}{6x} = \frac{31}{6x}\).
3. c) \(\frac{ab^{2}}{3x+3y} \cdot \frac{7x+7y}{a^{3}b}\)
   Выносим общие множители в числителях и знаменателях: \(\frac{ab^{2}}{3(x+y)} \cdot \frac{7(x+y)}{a^{3}b}\)
   Перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{ab^{2} \cdot 7(x+y)}{3(x+y) \cdot a^{3}b}\)
   Сокращаем \((x+y)\): \(\frac{7ab^{2}}{3a^{3}b}\)
   Сокращаем степени \(a\) и \(b\): \(\frac{7}{3a^{2}b^{-1}} = \frac{7b}{3a^{2}}\).
4. d) \(\left(\frac{3x^{2}}{2y^{3}}\right)^{3}\)
   Возводим в степень числитель и знаменатель: \(\frac{(3x^{2})^{3}}{(2y^{3})^{3}}\)
   Применяем правило возведения степени в степень \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\) и \((ab)^{n} = a^{n}b^{n}\): \(\frac{3^{3}(x^{2})^{3}}{2^{3}(y^{3})^{3}} = \frac{27x^{2 \cdot 3}}{8y^{3 \cdot 3}} = \frac{27x^{6}}{8y^{9}}\).

Ответ: a) \(3\), b) \(\frac{31}{6x}\), c) \(\frac{7b}{3a^{2}}\), d) \(\frac{27x^{6}}{8y^{9}}\)