2. Высота DE треугольника CDF делит его сторону CF на отрезки СЕ и EF. Найдите сторону CD, если EF = 8 см, DF = 17 см, ∠C = 60°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике DEF (так как DE — высота), по теореме Пифагора найдём DE:

\(DE^2 + EF^2 = DF^2\)

\(DE^2 + 8^2 = 17^2\)

\(DE^2 + 64 = 289\)

\(DE^2 = 289 - 64 = 225\)

\(DE = \sqrt{225} = 15\) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. У нас есть высота DE = 15 см и угол ∠C = 60°.

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\(\tan C = \frac{DE}{CE}\)

\(\tan 60° = \frac{15}{CE}\)

\(\sqrt{3} = \frac{15}{CE}\)

\(CE = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\) см.

Теперь найдём сторону CD, используя теорему Пифагора в треугольнике CDE:

\(CD^2 = DE^2 + CE^2\)

\(CD^2 = 15^2 + (5\sqrt{3})^2\)

\(CD^2 = 225 + (25 \times 3)\)

\(CD^2 = 225 + 75 = 300\)

\(CD = \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\) см.

Ответ: $$10\sqrt{3}$$ см.