3. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \(a = 18\) см и \(b = 12\) см. Пусть боковая сторона равна \(c\).

Пусть диагональ AC является биссектрисой острого угла ∠BAD.

По свойству биссектрисы, она делит угол пополам: \( \angle BAC = \angle CAD \).

Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то ∠CAD = ∠BCA (как накрест лежащие углы).

Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \). Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Значит, AB = BC.

Поскольку трапеция равнобокая, то AB = CD = \(c\).

В равнобокой трапеции основания равны 12 и 18. Меньшее основание BC = 12 см.

Значит, боковая сторона \(c = 12\) см.

Теперь найдём высоту трапеции. Опустим из вершин B и C высоты на основание AD. Пусть эти высоты пересекают AD в точках M и N соответственно. Тогда AM = ND = \(\frac{AD - BC}{2}\) = \(\frac{18 - 12}{2} = \(\frac{6}{2} = 3\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Гипотенуза AB = 12 см, AM = 3 см.

По теореме Пифагора найдём высоту BM (h):

\(BM^2 + AM^2 = AB^2\)

\(h^2 + 3^2 = 12^2\)

\(h^2 + 9 = 144\)

\(h^2 = 144 - 9 = 135\)

\(h = \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = 3\sqrt{15}\) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\(S = \frac{a+b}{2} \times h\)

\(S = \frac{18+12}{2} \times 3\sqrt{15}\)

\(S = \frac{30}{2} \times 3\sqrt{15}\)

\(S = 15 \times 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}\) см².

Ответ: $$45\sqrt{15}$$ см².