5. Точка К принадлежит параллелограмму ABCD. Известно, что площади треугольников ВКС, СKD и DKA соответственно равны 36 см², 32 см² и 24 см². Найдите площадь треугольника АКВ.

Решение:

Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S.

Площадь параллелограмма можно представить как сумму площадей четырёх треугольников, на которые он делится точкой К:

\(S = S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CKD} + S_{\triangle DKA} + S_{\triangle AKB}\)

Нам известны три площади:

\(S_{\triangle BKC} = 36\) см²

\(S_{\triangle CKD} = 32\) см²

\(S_{\triangle DKA} = 24\) см²

Пусть \(S_{\triangle AKB} = x\) см².

Тогда \(S = 36 + 32 + 24 + x = 92 + x\) см².

Существует свойство, что сумма площадей противоположных треугольников, образованных точкой внутри параллелограмма, равна половине площади параллелограмма:

\(S_{\triangle BKC} + S_{\triangle DKA} = \frac{1}{2} S\)

\(36 + 24 = \frac{1}{2} S\)

\(60 = \frac{1}{2} S\)

\(S = 60 \times 2 = 120\) см².

Также, \(S_{\triangle CKD} + S_{\triangle AKB} = \frac{1}{2} S\)

\(32 + x = \frac{1}{2} · 120\)

\(32 + x = 60\)

\(x = 60 - 32 = 28\) см².

Проверим: \(S = 36 + 32 + 24 + 28 = 120\) см².

Ответ: 28 см².