2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания равна 8 см. Определите боковое ребро и апофему пирамиды.

Решение:

Пусть высота пирамиды \(h = 7\) см, сторона основания \(a = 8\) см.

1. Найдём апофему (а):

Апофема — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

\( \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ a^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \]

\[ a^2 = 7^2 + 4^2 \]

\[ a^2 = 49 + 16 \]

\[ a^2 = 65 \]

\[ a = \sqrt{65} \) см.

2. Найдём боковое ребро (l):

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и половиной диагонали основания. Сначала найдём половину диагонали основания.

Диагональ основания \(d = a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}\) см.

Половина диагонали основания \( \frac{d}{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \) см.

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 \]

\[ l^2 = 7^2 + (4 \sqrt{2})^2 \]

\[ l^2 = 49 + (16 \times 2) \]

\[ l^2 = 49 + 32 \]

\[ l^2 = 81 \]

\[ l = 9 \) см.

Ответ: апофема \( \sqrt{65} \) см, боковое ребро 9 см.