3. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, равна 13 см. Найдите объём призмы.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы, равны \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Гипотенуза \(c\) этого треугольника равна:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, равна \(D = 13\) см. Обозначим высоту призмы как \(H\).

Эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного гипотенузой основания \(c\) и высотой призмы \(H\).

По теореме Пифагора:

\[ D^2 = c^2 + H^2 \]

\[ 13^2 = 5^2 + H^2 \]

\[ 169 = 25 + H^2 \]

\[ H^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ H = \sqrt{144} = 12 \) см.

Площадь основания призмы \(S_{осн}\) — это площадь прямоугольного треугольника:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \u0007 3 \u0007 4 = 6 \) см².

Объём призмы \(V\) равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} \u0007 H \]

\[ V = 6 \(\u\)0007 12 = 72 \) см³.

Ответ: 72 см³.