5. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36π см². Чему равен радиус шара и площадь поверхности шара, если сечение удалено от его центра на расстояние 8см?

Решение:

Площадь сечения шара плоскостью равна \( S_{сеч} = 36\pi \) см². Это сечение является кругом. Пусть \(r\) — радиус этого круга.

\[ S_{сеч} = \pi r^2 \]

\[ 36\pi = \pi r^2 \]

\[ r^2 = 36 \]

\[ r = 6 \) см.

Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \(d = 8\) см.

Пусть \(R\) — радиус шара. Радиус шара, радиус сечения и расстояние от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[ R^2 = r^2 + d^2 \]

\[ R^2 = 6^2 + 8^2 \]

\[ R^2 = 36 + 64 \]

\[ R^2 = 100 \]

\[ R = 10 \) см.

Площадь поверхности шара \(S_{пов}\) вычисляется по формуле:

\[ S_{пов} = 4\pi R^2 \]

\[ S_{пов} = 4\pi (10)^2 \]

\[ S_{пов} = 4\pi \u0007 100 \]

\[ S_{пов} = 400\(\pi\) \) см².

Ответ: радиус шара 10 см, площадь поверхности шара \( 400\pi \) см².