4. В цилиндре с высотой 6 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстояние 4 см. Найдите радиус цилиндра, если площадь указанного сечения равна 36 см².

Решение:

Пусть высота цилиндра \(h = 6\) см. Сечение, параллельное оси цилиндра, имеет форму прямоугольника. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая — хорде основания. Расстояние от оси цилиндра до этого сечения равно 4 см. Площадь сечения \(S = 36\) см².

Пусть \(R\) — радиус цилиндра, \(h\) — высота цилиндра, \(b\) — ширина сечения (длина хорды основания), \(d\) — расстояние от оси цилиндра до хорды.

Площадь сечения равна:

\[ S = h \u0007 b \]

\[ 36 = 6 \u0007 b \]

\[ b = \frac{36}{6} = 6 \) см.

Ширина сечения \(b\) — это длина хорды основания. Расстояние от центра основания до хорды \(d = 4\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом цилиндра \(R\), половиной хорды \(\frac{b}{2}\) и расстоянием от центра до хорды \(d\).

\[ \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ R^2 = d^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2 \]

\[ R^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ R^2 = 16 + 9 \]

\[ R^2 = 25 \]

\[ R = 5 \) см.

Ответ: 5 см.