2. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Например, у равнобедренной трапеции диагонали равны, а у ромба диагонали перпендикулярны, но одно только сочетание этих свойств без общего условия о середине не гарантирует квадрат. Контрпример: равнобедренная трапеция с вершинами (−2,0), (2,0), (1,1), (−1,1) имеет равные диагонали, но они не перпендикулярны; поэтому удобнее взять четырёхугольник с вершинами (−1,0), (1,0), (0,2), (0,−2): его диагонали перпендикулярны и равны, но фигура вырождена. Следовательно, при обычном определении невырожденного четырёхугольника проверим общий вывод: равные перпендикулярные диагонали сами по себе не требуют, чтобы они делились пополам, значит квадрат не следует. Ответ: не обязательно.

б) Нет. Если диагонали взаимно делятся пополам, четырёхугольник — параллелограмм; перпендикулярные диагонали дают ромб, но равенство диагоналей не задано. Ромб не обязательно квадрат.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырёхугольник — параллелограмм. В параллелограмме равные диагонали дают прямоугольник, а перпендикулярные — ромб; значит, он одновременно прямоугольник и ромб, то есть квадрат.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.