*. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите величину угла AMB.

Пусть сторона квадрата равна 1. Возьмём координаты A(0,0), B(0,1), D(1,0). Поскольку треугольник AMD равносторонний и расположен внутри квадрата, M находится над серединой AD: M(0.5, √3/2).

Векторы MA = (−0.5, −√3/2) и MB = (−0.5, 1 − √3/2). Их скалярное произведение равно

MA · MB = 0.25 − (√3/2)(1 − √3/2) = 1 − √3/2.

Длины векторов: |MA| = 1, |MB| = √(2 − √3). Поэтому

cos ∠AMB = (1 − √3/2) / √(2 − √3) = √(2 − √3)/2.

Так как cos 75° = √(2 − √3)/2, получаем ∠AMB = 75°.

Ответ: 75°.