Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.Фото задания

Ответ:

Формула площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \] Где \( a \) — длина основания, \( h_a \) — высота, проведенная к этому основанию.

Следствия и другие формулы площади:

  1. Через две стороны и угол между ними:
    2. \[ S = \frac{1}{2} ab ∂ γ \] Где \( a \) и \( b \) — длины двух сторон, \( ∂ γ \) — угол между ними.
  2. Формула Герона:
    3. \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Где \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, а \( p = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр.
  3. Через радиус описанной окружности:
    4. \[ S = \frac{abc}{4R} \] Где \( R \) — радиус описанной окружности.
  4. Через радиус вписанной окружности:
    5. \[ S = pr \] Где \( p \) — полупериметр, \( r \) — радиус вписанной окружности.

Вывод формулы площади треугольника (через основание и высоту):

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Проведем высоту \( BH \) к основанию \( AC \).

Случай 1: Остроугольный треугольник.

Высота \( BH \) делит треугольник \( ABC \) на два прямоугольных треугольника: \( ΔABH \) и \( ΔCBH \).

Площадь \( ΔABC = \text{Площадь } ΔABH + \text{Площадь } ΔCBH \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В \( ΔABH \) катеты \( BH \) и \( AH \), в \( ΔCBH \) катеты \( BH \) и \( CH \).

\( S_{ABH} = \frac{1}{2} · AH · BH \)

\( S_{CBH} = \frac{1}{2} · CH · BH \)

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} · AH · BH + \frac{1}{2} · CH · BH = \frac{1}{2} · BH · (AH + CH) \)

Так как \( AH + CH = AC \), то \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · BH · AC \). Если обозначить \( AC = a \) и \( BH = h_a \), то \( S = \frac{1}{2} a h_a \).

Случай 2: Тупоугольный треугольник.

Пусть \( ∠ BAC \) — тупой. Высота \( BH \) проведена к стороне \( AC \) (или ее продолжению).

Площадь \( ΔABC = \text{Площадь } ΔHBC - \text{Площадь } ΔHBA \).

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} · HC · BH - \frac{1}{2} · HA · BH = \frac{1}{2} · BH · (HC - HA) \)

Так как \( HC - HA = AC \), то \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · BH · AC \). Опять \( S = \frac{1}{2} a h_a \).

Случай 3: Прямоугольный треугольник.

Пусть \( ∠ B = 90^\circ \). Тогда катеты \( AB \) и \( BC \) являются высотами друг для друга. Если взять \( BC \) за основание \( a \), то высота \( h_a \) будет равна \( AB \), т.е. \( c \).

\( S = \frac{1}{2} · BC · AB \). Это частный случай основной формулы.