2. Зная, что 4 < x < 5 и -2 < y < -1, оцените: а) x + y; б) x - y; в) xy; г) x/y;

Решение:

Даны неравенства: $$4 < x < 5$$ и $$-2 < y < -1$$.

• а) x + y: Сложим неравенства: $$(4 + (-2)) < (x+y) < (5 + (-1))$$, что дает $$2 < x+y < 4$$.
• б) x - y: Умножим второе неравенство на -1 и сменим знаки: $$-1 \times (-2) > -y > -1 \times (-1)$$, что дает $$2 > -y > 1$$, или $$1 < -y < 2$$. Теперь сложим неравенства для $$x$$ и $$-y$$: $$(4 + 1) < (x - y) < (5 + 2)$$, что дает $$5 < x-y < 7$$.
• в) xy: Перемножим крайние значения: $$4 \times (-2) = -8$$, $$4 \times (-1) = -4$$, $$5 \times (-2) = -10$$, $$5 \times (-1) = -5$$. Наименьшее значение $$-10$$, наибольшее $$-4$$. Значит, $$-10 < xy < -4$$.
• г) x/y: Чтобы оценить частное $$x/y$$, нам нужно оценить $$x$$ и $$1/y$$. Умножим второе неравенство на -1: $$1 < -y < 2$$. Теперь найдем обратное значение: $$\frac{1}{2} < \frac{1}{-y} < \frac{1}{1}$$, то есть $$0.5 < -\frac{1}{y} < 1$$. Умножим на -1: $$-1 < \frac{1}{y} < -0.5$$. Теперь перемножим $$x$$ и $$1/y$$: $$4 \times (-1) = -4$$, $$4 \times (-0.5) = -2$$, $$5 \times (-1) = -5$$, $$5 \times (-0.5) = -2.5$$. Наименьшее значение $$-5$$, наибольшее $$-2$$. Значит, $$-5 < \frac{x}{y} < -2$$.

Ответ:

• а) $$2 < x+y < 4$$
• б) $$5 < x-y < 7$$
• в) $$-10 < xy < -4$$
• г) $$-5 < \frac{x}{y} < -2$$