4. Пользуясь тем, что 1,4 < √2 < 1,5 и 2,4 < √6 < 2,6, оцените: а) 2√2 + √6; б) √12; в) √24 + √2; г) √18 + √6.

Решение:

Даны неравенства: $$1.4 < \text{√}2 < 1.5$$ и $$2.4 < \text{√}6 < 2.6$$.

а) 2√2 + √6:

• Сначала оценим $$2\text{√}2$$: $$2 \times 1.4 < 2\text{√}2 < 2 \times 1.5$$, что дает $$2.8 < 2\text{√}2 < 3$$.
• Теперь сложим оценки для $$2\text{√}2$$ и $$\text{√}6$$: $$(2.8 + 2.4) < (2\text{√}2 + \text{√}6) < (3 + 2.6)$$, что дает $$5.2 < 2\text{√}2 + \text{√}6 < 5.6$$.

б) √12:

• $$\text{√}12 = \text{√}(4 \times 3) = 2\text{√}3$$. Нам нужно оценить $$\text{√}3$$. Мы знаем $$\text{√}2$$ и $$\text{√}6$$. Можно оценить $$\text{√}3$$ как среднее арифметическое или геометрическое. Однако, проще использовать соотношение $$\text{√}6 = \text{√}2 \times \text{√}3$$. Тогда $$\text{√}3 = \text{√}6 / \text{√}2$$.
• Оценим $$\text{√}3$$: $$\frac{2.4}{1.5} < \frac{\text{√}6}{\text{√}2} < \frac{2.6}{1.4}$$. Это дает $$1.6 < \text{√}3 < 1.857...$$.
• Тогда $$2\text{√}3$$: $$2 \times 1.6 < 2\text{√}3 < 2 \times 1.857...$$, что дает $$3.2 < \text{√}12 < 3.714...$$.
• Более точная оценка $$\text{√}3 \text{ ≈ } 1.732$$. Тогда $$2\text{√}3 \text{ ≈ } 3.464$$.
• Используя исходные данные: $$2 \times 1.4 = 2.8$$, $$2 \times 1.5 = 3$$. $$2.4^2 = 5.76$$, $$2.6^2 = 6.76$$.
• $$\text{√}12 = \text{√}(2 \times 6)$$. Перемножим оценки: $$1.4 \times 2.4 = 3.36$$, $$1.4 \times 2.6 = 3.64$$, $$1.5 \times 2.4 = 3.6$$, $$1.5 \times 2.6 = 3.9$$. Наименьшее $$3.36$$, наибольшее $$3.9$$. Значит, $$3.36 < \text{√}12 < 3.9$$.

в) √24 + √2:

• $$\text{√}24 = \text{√}(4 \times 6) = 2\text{√}6$$.
• Оценим $$2\text{√}6$$: $$2 \times 2.4 < 2\text{√}6 < 2 \times 2.6$$, что дает $$4.8 < 2\text{√}6 < 5.2$$.
• Сложим оценки для $$2\text{√}6$$ и $$\text{√}2$$: $$(4.8 + 1.4) < (2\text{√}6 + \text{√}2) < (5.2 + 1.5)$$, что дает $$6.2 < \text{√}24 + \text{√}2 < 6.7$$.

г) √18 + √6:

• $$\text{√}18 = \text{√}(9 \times 2) = 3\text{√}2$$.
• Оценим $$3\text{√}2$$: $$3 \times 1.4 < 3\text{√}2 < 3 \times 1.5$$, что дает $$4.2 < 3\text{√}2 < 4.5$$.
• Сложим оценки для $$3\text{√}2$$ и $$\text{√}6$$: $$(4.2 + 2.4) < (3\text{√}2 + \text{√}6) < (4.5 + 2.6)$$, что дает $$6.6 < \text{√}18 + \text{√}6 < 7.1$$.

Ответ:

• а) $$5.2 < 2\text{√}2 + \text{√}6 < 5.6$$
• б) $$3.36 < \text{√}12 < 3.9$$
• в) $$6.2 < \text{√}24 + \text{√}2 < 6.7$$
• г) $$6.6 < \text{√}18 + \text{√}6 < 7.1$$